Les quatre contrats qui lient les objets mathématiques.
Bien que ce mouvement ait ses racines dans l'antiquité grecque, avec Euclide, il n'a pris sa tournure actuelle que par la fin du 19e siècle, grâce à Bolzano : la définition est le contrat d'existence des objets mathématiques, alors qu’avant, on se contentait d’un « Bin voyons ! Vous ne voyez donc pas ? ». La définition est un engagement moral pris par l'auteur envers lui-même, envers son public, et envers les objets de pensée qu'il considère et communique : Voici ce dont nous parlons. Malheureusement, la qualité de cet engagement, au départ louable, a été dévorée par deux autres exigences moins louables, qui n'ont pas été conscientisées :
- L'une est de rester exclusivement dans la modalité sensorielle auditive. Même si les phrases de définition en question finissent par être écrites, elles gardent la majeure partie des défauts du discours oral dicté : qui dit oral soumission totale à la flèche du temps. On fait des phrases, voire on écrit des formules et des calculs, mais la structure d'ensemble n'est pas dessinée, ni ancrée dans l'expérience, ni ancrée dans les autres modalités, ni sensorielles, ni expérimentales. La structure de ses liens avec le restant du monde est un impensable, peut-être car cela échappe à la linéarité du discours verbal, peut-être aussi en raison de la haine première, quoique camouflée, envers le restant du monde.
- L'autre exigence est de tracer une frontière la plus hermétique possible entre nous les initiés qui savons, et vous les profanes qui ne savez pas, et qui ne saurez jamais, car nous sommes les initiés, contre vous les profanes. La structure n’est donc pas reliée au restant du monde, elle n’est liée qu’à la phrase de définition, que vous comprenez peut être, peut-être pas. Essayez donc avec celle-ci : « De tout recouvrement par une famille d’ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini » (définition des espaces compacts).
La preuve expérimentale de ce que j'avance est dans ceux des articles de l'Encyclopaedia Universalis qui sont mathématiques : Ils sont bourrés de mots et de présupposés qui ne sont définis nulle part, alors qu'ils sont tout sauf évidents hors de la secte des initiés. Autrement dit, l'exigence tacite à l'oeuvre ici est bien psychosociale, et non scientifique : Enfin ! Nous allons narguer tous ceux qui nous brutalisaient et nous méprisaient dans les cours d'écoles. Perchés sur la plus haute branche de l'arbre, nous pouvons regarder de haut les chiens aboyer, tandis que nous ronronnons de la douceur de la revanche...
Revenons sur l'absence totale des définitions premières dans le mouvement axiomatique. La rigueur ne commence qu'après les axiomes : on est tenus à la discipline de déduire tout le reste des axiomes et des définitions. Toutefois, on se garde bien de définir les notions premières : tout comme les axiomes, elles descendent toutes armées, directement du ciel abstrait. C'est là une escroquerie sociale. En réalité toutes les notions humaines, y compris les plus abstraites, viennent de l'expérience cumulée par nos millions d'ancêtres. Aucune notion ne peut venir d'ailleurs que de l'expérience, par des voies plus ou moins détournées. La plus éprouvée de ces voies est par la sélection génétique : à deux semaines, nos bébés sont aussi surpris que des singes adultes en forêt, par nos tours de magie, où l'on cache deux babars derrière un écran, et il n'en réapparaît qu'un, et autres variantes... Très très loin chez nos ancêtres, dès le Permien, ont été sélectionnés des précâblages neuronaux qui nous permettent de suivre efficacement un objet ou un animal du regard, de distinguer un, deux, ou trois congénères, etc. Voilà des « notions innées », que dans notre ancienne ignorance, nous avions décrétées « venir des dieux » donc échapper par nature à tout questionnement, et qui nous viennent de l'expérience de nos ancêtres par la dure loi de la sélection naturelle ; elles sont donc bien questionnables.
En résumé : l'idéologie axiomatique est utilisée quotidiennement par la communauté des mathématiciens comme une astuce pour ne pas payer ses dettes morales envers le restant de l'humanité, et notamment envers l'évolution technologique qui leur a permis d'exister.
Si on veut rétablir le contrat social de la profession envers le restant des humains, notamment des contribuables qui paient leurs salaires, il faut préciser le plus gros du contrat :
Exemple :
Les points, droites et plans de la géométrie euclidienne sont abstraits à partir d'une expérience technologique multimillénaire. « Abstraire » signifie retrancher des propriétés, pour n'en garder qu'un petit nombre, qu'on estime être les seules propriétés importantes, au moins pour le moment, pour le problème présent. On avait toujours réussi à exécuter un pointage plus précis que le précédent, à tracer un trait plus droit et plus fin que précédemment, à dresser un marbre plus plan que le précédent. On s'est alors imaginé qu'il n'y aurait pas de limites techniques ultimes, et on a imaginé les limites parfaites de cette situation : le point sans aucune dimension, la droite sans aucune épaisseur ni courbure ni poils, le plan sans épaisseur, sans courbure, sans torsion, sans texture, sans poils[1], l'infini et la puissance du continu, etc...
[1]Dans
les attaques ad hominem qui ont salué
la diffusion de
ce message sur le groupe de discussion fr.sci.maths, certains ont
trouvé malin de faire le raisonnement suivant :
« Puisque
Jacques Lavau critique l’enseignement de collège
et de
lycée, cela prouve qu’il
n’a jamais entendu
parler de fractales… ». Du
reste les fractales partagent avec
les objets euclidiens un même vice de base : l'autosimilitude
à toute
échelle.
Ce n'est que si on se souvient d'un tel héritage technologique, que l'on peut mettre en perspective une telle illusion abstraite. En effet, depuis 1900, les physiciens butent sur la limite atomique, non seulement pour les atomes, mais pour les électrons, et pour la lumière. A notre échelle macroscopique, nous disposons de quelque chose de plus petit qu'une fleur, pour nous informer sur la taille, la forme et les couleurs d'une fleur : c’est la lumière. A l'échelle élémentaire, nous ne disposons de rien de plus petit que l'électron pour nous dire si l'électron est petit, petit de combien, « où » il serait, net ou flou, localisé ou délocalisé, à quelle fréquence il pulse... Nous ne disposons de rien. Pour traiter de la microphysique ondulatoire avec spin, il faut faire de toutes autres mathématiques que celles que nos ancêtres nous ont léguées pour traiter du seul macroscopique.
Fin de l'exemple destiné à illustrer ce point : les définitions doivent être référencées dans l'expérience, et cette expérience doit être explicite.
Pour
qu’un
champ d’études et de connaissances devienne une
science,
il lui faut :
1.
une délimitation de son objet,
2.
une première liste (non négociable, mais encore
enrichissable) de ses épreuves de
réalité,
3.
et une socialisation rationalisée et transparente, prenant
en
respect tous ses clients.
Autrement dit, il lui faut se donner les critères d’un pilotage en exactitude, et donner à une surveillance extérieure les moyens de vérifier si ce pilotage en exactitude est bien respecté. Cette exigence semble élémentaire à des ingénieurs qualiticiens : elle est fondatrice de la notion même de qualité. Or cette notion n’a pas encore percolé jusqu’aux communautés scientifiques, et pas chez les mathématiciens non plus.
Le premier point a été traité, par exemple par Saussure, quand il a défini le champ de la linguistique générale. D’autres sciences peuvent mettre plus longtemps, redéfinissant plusieurs fois leur objet. Cette lenteur et ces aléas doivent être acceptés avec sang froid : cela fait partie des complications de la vie.
Le second point technique renvoie moralement au troisième : choisir ce qu’on respecte, renvoie à garantir ou non, et à qui, la fiabilité et la validité des énoncés que l’on diffusera.
Une autre population, pourtant elle aussi plutôt asociable et narcissique, a déjà assimilé les critères de base de la qualité et de la réutilisation fiable par des gens dont on n’a pas idée, pour des usages dont on n’a pas idée : ce sont les programmeurs et les analyste en génie logiciel. Les normes de construction des logiciels leur ont imposé un minimum de respect des autres, de ceux qui reliront votre code sans avoir votre génie, et qui l’amélioreront ou le transformeront.
En mathématisation de la physique, j’ai cité des rejets hâtifs d’épreuves de réalité préconisées par le voisin. Le physicien rejette avec mépris tel critère de cohérence mathématique et logique, lui refusant le statut d’épreuve de réalité valide. Dans la pratique, lui ne reconnaît comme critère de réalité que l’indication lue sur un cadran d’appareil de mesure, et - au moins jusqu’à ce jour - persiste à rejeter la prévision des symétries correctes. Réciproquement, le mathématicien rétorque par d’autres mépris tout aussi déplacés, envers des épreuves de réalité qui lui paraissent bien trop terriennes.
Ces exemples renvoient non seulement à une myopie technique, mais surtout à une carence morale : Chaque spécialité scientifique entend se définir de l’intérieur, en prolongeant le privilège ecclésiastique d’exterritorialité qui fut celui de la Sorbonne, au moyen-âge. Chaque spécialité entend n’avoir de comptes à rendre à personne, et n’avoir personne à respecter. L’articulation entre le particulier et sa profession, ressemble à un contrat social tacite : j’adhère pour que tu me protèges du regard des autres, que tu me dispenses de rendre des comptes aux autres, les profanes et autres infidèles à la vraie foi.
Le premier critère de socialisation, entre pairs, est généralement bien compris : je dois pouvoir partager mes expériences et leur interprétation avec des collègues qui ne parlent pas la même langue, qui n’ont pas la même religion, ni les mêmes opinions politiques. Ceci implique des affirmations restreintes à ce qui peut être mis en commun entre nous, donc le renoncement à des tas de considérations esthétiques, mystiques, etc. Mais doit-on aussi renoncer à une moralité scientifique explicite et vérifiable ?
Le second cercle de socialisation est nettement moins bien traité : le respect interprofessionnel, le respect de mes clients immédiats, et de mes fournisseurs immédiats. Les discours officiels à ce sujet, souvent irréprochables, sont contredits sur le terrain des amphis, des salles de cours, des couloirs, des machines à café, voire des manuels de cours, par force persiflages, désinvoltures, et autres conduites de fuite-ou-combat (fight or flight syndrome).
Considérons la société entière comme le troisième cercle de socialisation. C’est bien en sanction de son mépris envers les deuxième et troisième cercles, que Karl Popper critiquait la psychanalyse (en tant qu’organisation, dirigée par Sigmund Freud) comme une non-science, mais bien comme une religion attachée à un clergé. Elle se permettait de remanier ses affirmations à l’infini au fil des embarras, sans jamais prendre le risque d’énoncés nets, risquant d’être nettement démentis par l’expérience. Sigmund Freud fondait ainsi son clergé suiveur à mépriser, et à se méfier de tout le cercle de vérification externe : ils se sont maintenus à l’écart de la communauté scientifique. Ils prirent l’habitude de disqualifier automatiquement leurs contradicteurs : « Oh ! Mais c’est votre résistance ! Plus vous nous résistez, et plus vous prouvez que nous avons raison ! »
Le résultat net de ce mépris, est que la fiabilité et les limites d’un énoncé à grandes prétentions, sont inconnues, et que vous utilisateurs, les découvrirez à vos dépens.
Prenons une illustration qui a coûté cinq milliards de francs : après explosion, on a étudié les causes de l’explosion en vol de la première Ariane 5, en juin 1996. C’est une division, dans les routines de maintien des gyroscopes avant envol, qui a débordé : le quotient devait tenir dans un entier de 16 bits. Dans les programmes d’Ariane 4, son éventuel débordement n’était pas trappé, car les paramètres de vol d’Ariane 4 excluaient une telle éventualité. La routine a été réutilisée, sans que rien ni personne ne s’avise que le client (l’appelant) ne remplissait plus son contrat de préconditions: Ariane 5 accélérait bien plus fort qu’Ariane 4. Le langage employé, ADA, a pourtant la plupart des caractéristiques d’un langage sûr. Pourtant, il n’avait encore aucun des dispositifs de sécurité de la programmation par contrat. Dans la programmation par contrat, dont le seul représentant connu à l’époque est le langage Eiffel, chaque routine est garante de ses obligations: « Si vous me fournissez des paramètres dans l’étendue spécifiée dans notre interface, au format contractuel, je vous fournit des résultats exacts, à la précision contractuelle, au format contractuel. » Le compilateur-lieur est responsable de vérifier que tous les appelants garantissent leurs obligations contractuelles. (IEEE Computing, Jean-Marc Jézéquel).
Pour en revenir aux domaines que j’enseigne, les mathématiques et les sciences, les doctrines que je suis chargé d’endoctriner, sont très souvent l’exemple même de ce qu’il ne faut pas faire. Personne ne sait y garantir le domaine de validité des concepts que nous enseignons. Personne ne s’inquiète de garantir la sécurité de leur réemploi. Personne ne se soucie d’en clarifier et d’en optimiser l’architecture, sur critères de réemplois faciles et sûrs par toutes sortes de professions. Trop souvent, les groupuscules cultivent leurs particularismes; les auteurs cultivent leur narcissisme ; chacun cultive son individualisme et son incivisme. Chacun marque sa supériorité sur son prochain. Chacun proclame son bon sens, chacun fustige l’irréalisme de son prochain, chacun s’arroge le privilège d’ignorer toutes les collisions sémantiques avec les autres professions utilisatrices des mêmes mots.
En tant que professeur, avec une formation d’ingénieur, je suis porté à exiger une architecture cohérente des concepts enseignés en mathématisation des sciences, du CM1 au D.E.A. En tant qu’ingénieur, je suis porté à exiger, et à créer si nécessaire, une normalisation interprofessionnelle des niveaux d’abstraction, faisant l’objet de documents publics, publiquement discutés, publiquement appropriables. Ceci est indispensable pour pouvoir parvenir un jour à une certification-qualité, de la conceptualisation d’une science. J’ai donné ailleurs un exemple des désastres causé chez les clients des mathématiques, par cet oubli des limites de validité des concepts enseignés, exemple consultable à l’adresse http://jacques.lavau.perso.sfr-internet.fr/GEOMETRIE_infond.htm .
La relation d’enseignement ne peut cesser d’être inégale. Jusqu’à présent, le critère didactique d’enseignabilité est resté grevé par un vice fondamental, par un manquement : rester juge et partie, cumuler les rôles de fournisseur, et de contrôleur qualité de ce que l’on fournit.
Jusqu’à présent, la seule situation pédagogique qui ait su séparer le pouvoir de contrôler du pouvoir d’enseigner, est la situation de l’autodidacte – au moins autodidacte partiel. L’ingénieur ou le technicien qui va chercher en librairie ou en bibliothèque les morceaux de science qui lui manquent pour résoudre tel problème terriblement réel, sont en mesure d’apprécier si le livre est clair, si l’article est compréhensible, si les prérequis sont correctement énumérés et clairement détaillés, si la discipline de respect de la définition initiale est tenue ou est trahie. Alors que l’étudiant d’université qui oserait remarquer une contradiction dans le discours professoral va au devant de graves ennuis : on trouve qu’il agresse le narcissisme de celui qui est juge et partie, et qui s’est habillé du costume "La science, c’est moi !". En conséquence l’audacieux contradicteur sera promptement éliminé, au plus tard à la fin de l’année.
L’enseignement de masse est doublement grevé par un double étage de juge-et-partie : d’une part l’enseignant est juge et partie de ses élèves, et au dessus de lui, l’inspecteur est juge et partie. Ainsi du reste qu’à l’entrée dans la carrière par concours : le jury d’inspecteurs est juge et partie dans toutes controverses sur la non-qualité de la doctrine officielle du jour, que l’enseignant devra flagorner sous peine de graves ennuis.
Il ne faut donc point s’ébahir si le rendement de l’enseignement est si mauvais : Le chef a raison, le chef a toujours raison. Personne n’ose évaluer les erreurs du chef, et encore moins sa corruption éventuelle.
Et pourtant, il existe bien des preuves que des fautes graves se reproduisent de génération en génération, cela même dans l’enseignement des sciences, et qu’elles coûtent un prix énorme à l’enseigné, qui doit s’accommoder d’illogismes ahurissants, renoncer à comprendre, exhiber sa docilité. C’est que l’enseignement des sciences échappe à tout critère scientifique d’exactitude, ni même d’efficacité : il est dominé d’abord par la loi du chef, juge-et-partie. Aussi quelques années plus tard, faut-il détruire les notions erronées que nos élèves ont été contraints de croire, par exemple le produit « vectoriel ». Il aurait été préférable de ne jamais les tromper, dès le début.
En particulier, l’enseignant de mathématiques méprise ses dettes envers l’expérience millénaire qui a dégagé les notions qu’il tient maintenant pour « évidentes ». C’est le mépris envers ses fournisseurs. Or presque aucune des notions actuellement axiomatisées n’a été dégagée par cette démarche condescendante, mais bien par une expérience sensorielle et motrice. Nos élèves ont besoin d’abstraire à partir de leur corps, de leurs mains, de leurs muscles et de leurs sens. Chaque fois que nous les brimons dans cet ancrage sensoriel et concret, nous les handicapons. Certes l’enseignement des sciences passe par de nombreuses étapes de désensorialisation ; c’est intrinsèque à la science. Toutefois, actuellement ce mouvement est unilatéral, autoritaire, et sa justification est escamotée. Il s’accompagne d’un mépris inadmissible envers l’ancrage concret. La santé des sciences exige que celui qui propose l’abstraction assume le fardeau de la preuve : il doit prouver que tout ce qu’il a négligé, pour ne retenir que quelques traits, est bien négligeable, et il doit fournir les moyens de vérifier ce qu’il tient pour preuve. Autrement dit, je propose que le contrat de désensorialisation dans l’enseignement des sciences devienne un contrat synallagmatique, c’est à dire qu’il tienne compte des volontés des deux parties, l’enseignant et l’enseigné.
Les objets mathématiques, en particulier ceux nécessaires à la mathématisation de la physique, sont liés par quatre contrats, dont les trois derniers sont gravement négligés :
Ils sont liés par une définition, contrat d’existence posé par l’inventeur ;
Ils sont liés à des références dans le monde réel, sans lesquelles ils léviteraient dans du rien ;
Ils sont liés au droit de regard et de contrôle interprofessionnel de tous ceux que l’on s’engage à respecter, soit un cercle de surveillants externes le plus vaste et diversifié que possible ;
Ils sont liés par un contrat didactique : ce doit être assimilable avec un bon rendement par des élèves et par des autodidactes.