Le Zitterbewegung : clé de la diffusion électron-photon selon les lois de Bragg et Compton.

Jacques Lavau
jacques.lavau(at)free.fr

Résumé

En 1927, Erwin Schrödinger avait présumé prouver que la diffusion d'un photon gamma ou X par un électron étudiée par A. H. Compton, relevait de la loi de Bragg, par interférences sur les réseau d'ondes brogliennes. Toutefois cette démonstration était prématurée et est erronée : seul le réseau d'ondes temporairement stationnaires dans le repère du centre d'inertie, résultant du battement entre les ondes Dirac-Schrödinger (= Zitterbewegung) de l'aller et du retour de l'électron, donne la bonne équidistance requise par la loi de Bragg. L'équidistance Bragg-Schrödinger est électromagnétique (Dirac 1930 -1957, Schrödinger 1930).

Les conditions de Bragg impliquent une largeur et une profondeur de l'ordre de la douzaine, voire deux douzaines de distances interatomiques pour la largeur et la profondeur de l'interaction entre électron et photon. C'est incompatible avec le mythe des "aspects corpusculaires", mythe pourtant hégémonique à ce jour.

Abstract

In 1927, Erwin Schrödinger presumed to have shown that the Compton scattering between an electron and a X photon, is relevant of the Bragg law, computed in the frame of the center of inertia. However, his demonstration could not use in 1927 the right equidistance for the Bragg law. Only the Dirac-Schrödinger electromagnetic waves, whose spatial and temporal frequencies are the double of the Broglian (spinorial) ones, provide the right equidistance for the Bragg law. The lattice of electromagnetic planes that reflect the photon, results of the superposition of incoming and departing electronic waves (Dirac 1930 -1957, Schrödinger 1930).

The Bragg conditions imply about one or two dozens of interatomic distances for both the depth and the width of the interacting photon and electron. So once again, there are no "corpuscular aspects" in the real physical world. Only waves, emitters and absorbers.

Requis

Dans le repère du laboratoire, les résultats sont bien connus (Greiner 1981) :

Conservation de l'énergie:

$LaTeX: h\nu= h\nu' + m_0c^2\left( \frac{1}{\sqr{1-\frac{v^2}{c^2}} } -1\right)$

Conservation de la quantité de mouvement selon l'axe du photon incident:

$LaTeX: \frac{h\nu}{c}=\frac{h\nu'}{c}cos\theta + m_0v\left( \frac{1}{\sqr{1-\frac{v^2}{c^2}} } -1\right)cos\phi$

et selon l'axe perpendiculaire où la quantité de mouvement est nulle

$LaTeX: 0=\frac{h\nu'}{c}sin\theta- m_0v\left( \frac{1}{\sqr{1-\frac{v^2}{c^2}} } -1\right)sin\phi$

En résolvant ces équations, on obtient

$LaTeX: \lambda -\lambda'=\frac{h}{m_0\c}\ sin^2\ \frac{\theta}{2}$

Demonstration dans le repère du centre d'inertie

Nous recommençons ce calcul, mais cette fois dans le repère du centre d'inertie, même s'il est expérimentalement irréalisable d'expérimenter dans ce repère, dont l'occurrence est aléatoire : on ne choisit pas à l'avance l'angle de diffusion, on reste prisonniers du repère du laboratoire.

Là les calculs se simplifient puisque le photon ne change ni de fréquence ni d'énergie, juste de direction. Fixons qu'il arrive de la gauche, en descendant d'un angle $LaTeX: \alpha = \frac{\theta}{2}$ , et continue en remontant du même angle. L'électron ne change pas d'énergie, mais juste de sens de la vitesse. On néglige l'énergie de liaison initiale de l'électron au solide.

Impulsion selon z'z transmise par le photon à l'électron : - $LaTeX: \frac{h\nu}{c}.2\sin\alpha$ (signe - : descendante si l'axe z'z est vertical montant).

Equilibrée par le changement de celle de l'électron : LaTeX: 2m_ev (premier calcul non relativiste)

$http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?2m_e%20c%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqr%7B1-%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%7D%20%7D%20-1%5Cright%29$ forme relativiste.

D'où la vitesse d'arrivée et de fuite de l'électron : $LaTeX: v \hspace{4}=\hspace{4} \frac{h\nu}{m_ec}.\sin\alpha$ (premier calcul non relativiste)

On en déduit sa vitesse de phase : $LaTeX: V \hspace{4}=\hspace{4} \frac{c^2} v \hspace{4}=\hspace{4} \frac{m_ec^3}{h\nu.\sin\alpha}$

Or on connaît bien la période intrinsèque de l'électron, $LaTeX: T_e \hspace{4}=\hspace{4} \frac{h}{m_ec^2}$

D'où sa longueur d'onde broglienne : $LaTeX: \lambda_e \hspace{4}=\hspace{4} V.T_e \hspace{4} = \hspace{4} \frac{V}{\nu_e} \hspace{4} = \hspace{4} \frac{m_ec^3}{h\nu.\sin\alpha}.{\frac{h}{m_ec^2} \hspace{4}=\hspace{4} \frac{c}{\nu.\sin\alpha}$

On remarque que cette longueur d'onde ne dépend pas du tout de la masse de l'électron, et serait la même pour toute autre particule (chargée ou même pas chargée) sujette à diffusion Compton. Elle ne dépend pas non plus de la constante de Planck. Elle ne dépend que l'angle de déviation du photon, et de sa période ou de sa longueur d'onde avant et après la diffusion.

Guidés par ce que nous savons déjà faire en réfraction et réflexion sur un dioptre, il nous faut calculer l'émission du miroir à photon, qu'a constitué cet électron.
La partie horizontale, selon l'axe x'x, est invariante. Sa longueur d'onde est $LaTeX: \frac{\lambda}{\cos\alpha}$
La longueur d'onde de la partie pénétrante, et aussi bien de la partie réfléchie du photon est $LaTeX: \frac{\lambda}{\sin\alpha} \hspace{4}=\hspace{4} \frac{c}{\nu.\sin\alph$

Ces deux longueurs d'onde, celle de l'électron rebondissant, et de la partie réfléchie du photon, sont égales.

Jusqu'ici, le calcul n'a pas pu donner l'ordre de grandeur des extensions spatiales du photon X et de l'électron. On sait juste, pour avoir assez utilisé la raie $LaTeX: K\alpha$ du molybdène en radiocristallographie des métaux ( $LaTeX: K\alpha$ du cuivre ou du cobalt en minéralogie), que sa longueur d'onde est comparable avec les distances interatomiques dans les métaux, et que les électrons de la liaison métallique sont peu liés, et surtout peu localisés, s'étendant sur une à deux dizaines de distances interatomiques (et les phonons aussi, voire bien plus vastes). Cela joint aux exigences géométriques de la diffraction sur des plans interatomiques, amène à conclure que et le photon, et l'électron sont larges et profonds de quelques dizaines de distances interatomiques tout au long de leur interaction Compton.

Application numérique pour la raie $LaTeX: K\alpha$ moyenne du molybdène :

Prenons un cas de forte déviation du photon, deux fois 30°, soit $LaTeX: \sin\alpha = \frac 1 2$

La longueur d'onde moyenne de la raie incidente est 0,070926 nm

D'où la projection extérieure à la direction de propagation de l'électron : $LaTeX: \lambda _{Broglie}$ = 0,070926 nm x 2 = 0,141852 nm.

D'où l'on tire la vitesse de l'électron : $LaTeX: v = \frac{\lambda _{Compton}}{\lambda _{Broglie}}.c = \frac {2,42631}{141,852}. 299792458 m/s = 5,1278 . 10 ^6 m/s$

Soit une vitesse non relativiste, 1,7% de c. Et ce serait encore moins relativiste aux basses déviations.

Puis passer dans le repère de l'électron entrant...

Puis passer dans le repère de l'électron entrant, qui sera assimilé à celui du labo, et l'on devrait retrouver les formules expérimentales d'Arthur Compton.

Avec toutefois les sources d'erreurs suivantes :

Un électron de valence n'est pas au repos, mais au niveau de Fermi, et à la vitesse de Fermi dans le métal.
Et le procédé de calcul a négligé son énergie de liaison, métallique.

C'est le n° 1, le niveau de Fermi, la source la plus grosse d'élargissement des raies Compton, en plus du fait que la raie X $LaTeX: K\alpha$ est un doublet.

Et l'objection de principe qu'on a juste constaté l'échange des vecteurs d'onde, sans faire la physique de l'interaction

Composante verticale du vecteur d'onde gamma entrant = vecteur d'onde électronique sortante.

Composante verticale du vecteur d'onde gamma sortant = vecteur d'onde électronique entrante.

Mais à ce stade du calcul, la physique de l'interaction nous est encore inconnue.

L'échec est garanti si l'on tente d'étendre à ce domaine la modélisation en objet massif qui ralentit, puis repart dans l'autre sens, avec une accélération moyenne finie durant le temps de l'interaction. En 1926 (Schrödinger 1926) Erwin Schrödinger nous avait montré le chemin en montrant que l'émission d'un photon est le résultat du battement d'une onde électronique entre son état final et son état initial. Ici aussi, il faut faire battre entre eux l'état initial "montant" et l'état final "descendant" (selon le sens choisi pour la figure). Durant ce battement, un état intermédiaire contient une onde broglienne stationnaire, mis à répartir entre quatre composantes de Dirac, dont deux à rebrousse-temps et à fréquences négatives.

Il apparaît une autre contrainte, dont nous ne savons pas si elle a été expérimentalement vérifiée, ni même si elle est expérimentable : la polarisation électrique est nécessairement dans le plan de la figure.

Condition de Bragg et Zitterbewegung

Rappelons la condition de Bragg en radiocristallographie :

Si d est la distance interréticulaire, $LaTeX: \alpha = \frac{\theta}{2}$ est l'angle du rayon incident sur le plan réticulaire, ou moitié de l'angle de déviation totale, $LaTeX: \lambda$ la longueur d'onde du rayonnement incident, et n un entier, ordre de la réflexion :

$LaTeX: 2d. \sin\alpha = n\lambda$

Preuve : arrivant sous l'angle α sur les plans réticulaires AB etc., l'onde monochromatique réfléchie par le plan suivant présente une différence de marche égale à BC - HC. La première réflexion n'existe que si BC - HC vaut exactement une longueur d'onde. Dans le triangle isocèle ABC, d = AB $LaTeX: \sin\alpha$ = BC $LaTeX: \sin\alpha$
Tandis que dans le triangle rectangle BCH, CH = BC $LaTeX: \cos2\alpha$ .
La différence de marche entre les deux ondes est BC - CH = BC $LaTeX: (1 -\cos2\alpha)$ = 2 BC . $LaTeX: (\sin^2\alpha)$ = 2 d $LaTeX: \sin\alpha \hspace{4}=\hspace{4} n.\lambda_{\gamma}$

Or la longueur d'onde broglienne calculée ci-dessus, celle utilisée par Erwin Schrödinger en 1927 (Schrödinger 1927) ne nous donne que la réflexion d'ordre deux : $LaTeX: \lambda_e \hspace{4}=\hspace{4} \frac{\lambda_{\gamma}}{\sin\alpha}$ .
Une réflexion de faible intensité, tandis que devrait apparaître à l'expérience l'autre réflexion, d'ordre 1, forte, qui n'est jamais observée (et qui violerait les lois de conservation de l'impulsion-énergie)...

Il ne reste qu'une seule issue, considérer l'onde électromagnétique stationnaire à fréquence temporelle et à fréquence spatiale doublée, le Zitterbewegung, ou Tremblement de Schrödinger conforme à l'équation de Dirac (Schrödinger 1930, Dirac 1930, 1958), qui donne la bonne équidistance réticulaire de Bragg, exactement d !

$LaTeX: d \hspace{4}= \hspace{4} \frac {\lambda_e}2 \hspace{4}= \hspace{4} \frac{T_e}{2 v_e} \hspace{4}= \hspace{4} \frac{h}{2 m_e.v_e} \hspace{4} = \hspace{4} \frac{\lambda_{\gamma}}{2\sin\alpha}$

Quod Erat Demonstrandum !

Conclusions

C'est bien la fréquence spatiale du Tremblement de Schrödinger, stationnaire durant la réflexion de l'électron sur le photon, qui satisfait à la condition de Bragg pour un réflex au premier ordre, donnant exactement la diffusion Compton du photon incident.

On se proposait de mettre en évidence le mécanisme physique et ondulatoire qui rendrait compte de la diffusion Compton. Mission accomplie : c'est l'équidistance des ondes temporairement stationnaires de Dirac-Schrödinger qui satisfait à la condition de Bragg, pour la diffusion au premier ordre. Qu'Erwin Schrödinger n'ait pas lui-même corrigé en 1930 son erreur de 1927 donne la mesure de la démoralisation minutieuse que Bohr et Heisenberg avaient obtenue sur lui (Segrè 1984, Selleri 1986). Par exemple, on n'en trouve nulle trace dans sa conférence Nobel, de 1933, où les deux dernières pages dénient tout le travail des pages précédentes.

Autres conséquences :

Vu l'étendue spatiale d'un électron de conduction au niveau de Fermi, l'interaction Compton électron-photon n'impose à cet apex qu'une contrainte modeste de pincement des fuseaux de Fermat, de l'ordre de quelques nanomètres, tandis que les conditions réactionnelles aussi bien à l'émetteur précédent qu'à l'absorbeur suivant, tant pour le photon X que pour l'électron, peuvent être plus pincées ; le détail dépend de la physique précise de ces absorbeurs et émetteurs. On sait que les phonons ne peuvent être petits : ils sont échantillonnés sur de grands nombres d'atomes. Il en résulte que les électrons de conduction non plus ne peuvent être rendus petits : ils rebondissent avant tout sur des phonons, avec un libre parcours moyen dans le cuivre à l'ambiante de 200 Å. La distance interatomique dans le cuivre est de 256 pm. On peut évaluer la longueur individuelle de chaque électron de conduction vers 25 distances interatomiques, soit 6,4 nm. Compton utilisait la raie K du molybdène, en réalité un doublet, de longueur d'onde moyenne 0,070926 nm. Nous en concluons que la réaction Compton s’étend sur = 90 243 longueurs d’onde de la raie K du molybdène. Vu l'ensemble des approximations, comptons que la diamètre de l'apex réactionnel électron + gamma ⇒ électron + gamma est dans l'ordre de grandeur de 3 à 10 nm.

L'électron réintègre sous les lois physiques, et cela individuellement. Cela semble une platitude, mais sous la mythologie standard (Greiner 1935, Charpak, Omnès 2004, Hawking, Mlodinow 2010), chaque quanton échappait individuellement à toutes lois physiques, n'y étant soumis que de manière statistique sur les grands nombres, par l'intermédiaire d'un mécanisme physique totalement mystérieux, mais postulé quand même.

Il n'est plus nécessaire de postuler un mécanisme physique exorbitant, jamais observé ni théorisé, qui réussirait à transmuter magiquement photons ou électrons en quelque "petit corpuscule", voire pis : "corpuscule ponctuel".

Remerciements

Remerciements à Lev Lvovitch Regelson, qui a accompli un acte de résistance inouïe : rendre accessible à tous un article d'Erwin Schrödinger, à l'adresse http://www.apocalyptism.ru/Compton-Schrodinger.htm

Bibliographie et références

P.A.M. Dirac. The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press, ed 1958. § 69.

Greiner 1981 : W. Greiner. Relativistic Quantum Mechanics ; Wave Equations. Springer Verlag, ed. 1997.

Schrödinger 1926 : An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules. The Physical Review, 28, (1926), 1049-1070

Schrödinger 1927 : E. Schrödinger. Über den Comptoneffect. Annalen der Physik. IV. Folge, 62. http://www.apocalyptism.ru/Compton-Schrodinger.htm
Adresses signalés par : Lev Lvovitch Regelson. Compton effect: Schrödinger's treatment in : The Science Forum - Scientific Discussion and Debate. http://www.thescienceforum.com/viewtopic.php?p=235655 Lien changé : http://www.thescienceforum.com/physics/18025-compton-effect-schroedingers-treatment.html

Schrödinger 1930 : Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik. Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-mathematische Klasse, (1930), 418-428

Schrödinger 1933 : Nobel Lecture, December 12, 1933. The Fundamental Idea of Wave Mechanics. http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/schrodinger-lecture.html http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/schrodinger-lecture.pdf

Segrè 1984 : Emilio Segrè. Les physiciens modernes et leurs découvertes. Fayard, Paris 1984.

Selleri 1986 : Franco Selleri. Le grand débat de la théorie quantique. Flammarion, Paris 1986.

Anti-références, un bouquet de ce qu'il ne faut pas faire (rassemblé à : http://citoyens.deontolog.org/index.php/topic,887.0.html ) :

Georges Charpak et Roland Omnès. Soyez savants devenez prophètes. Ed. Odile Jacob, Paris, juillet 2004. Pages 87 - (92 ?).
Wolgang Greiner 1935. Quantum Mechanics, Special Chapters, pp 365-367. Springer Verlag, ed. 1998.
Stephen Hawking, Leonard Mlodinow 2010. The Grand Design. Bentham Books, 2010.