Solution :
Le théorème des arcs capables dit où la bissectrice intersecte la médiatrice.



Un angle de droites a une mesure inférieure ou égale à un droit. Il ne peut être obtus, contrairement à un angle de demi-droites.

Pour toute corde BC inscrite dans un cercle donné, tous les angles ayant leur sommet sur ce cercle, dont les côtés passent l’un par B, l’autre par C, on le même angle de droites. Cet angle de droites est la moitié de l’angle au centre saillant qui voit ce segment BC, ou cet arc BC (de mesure angulaire inférieure ou égale à celle d’un demi-cercle).

On peut redire le même théorème avec des angles de droites orientés, si on oriente le bipoint BC.

Voici donc la construction du point I, intersection de la médiatrice et de la bissectrice :

Tracer le segment BC de son choix. En son milieu M, tracer la médiatrice. Sur cette médiatrice,
prendre où l’on veut le centre du cercle qui passera par B et C. Tracer ce cercle.
Choisir un point A où l’on veut sur ce cercle.
Dans cette construction, c’est le cercle circonscrit qui est fixe.
La droite BC partage alors le cercle circonscrit en deux arcs : BAC qui contient A, et l’autre.
Le point I cherché est l’intersection de cet autre arc avec la médiatrice.
En effet, les arcs BI et IC sont de mesure égale, par construction, donc les angles BAI et IAC sont égaux.
La droite AI qu’on vient de tracer est donc bien la bissectrice de l’angle BAC intérieur au triangle ABC.

Où qu’on place le point A sur cet arc de cercle, le point I ne bouge pas. Remarque : soit I’ le diamétral opposé de I sur ce cercle circonscrit. I’ est l’intersection de la médiatrice de BC avec la bissectrice extérieure de l’angle en A.

Ce n’est que si on passe A sur l’autre arc, celui qui contient l’ancien point I, que le point I devient I’, diamétralement opposé sur le cercle circonscrit.
Les points I et I’ permutent leurs rôles, tandis que l’angle intérieur A change de nature, il passe d’aigu à obtus ou inversement.

Et voilà ! Le point I est TOUJOURS extérieur au triangle ABC.

Un passage à la limite est quand A est sur la médiatrice, et que le triangle est isocèle. Alors la médiatrice et la bissectrice sont confondues, et ont donc en commun des points qui sont à l’intérieur du triangle ABC.

L’autre passage à la limite est quand le triangle est plat, que A se confond avec B ou C. Par continuité, le segment qui est de longueur nulle a conservé sa direction tangente au cercle circonscrit. On ne sait plus laquelle des deux bissectrices est extérieure et laquelle est intérieure, mais toutes deux continuent de passer l’une par I, l’autre par I’, sans aucun changement.

L’arnaque de la devinette d’hier, ci-dessus consiste à avoir dessiné le point I à l’intérieur du triangle : une figure « accidentellement » fausse. Donc pour raisonner juste, on dépend quand même de figures pas trop fausses…
Et pour généraliser aux autres sciences : Pour raisonner juste, on dépend d’expériences aussi exactes que possible.

P.S. il me semble que ce théorème des arcs capables a disparu des programmes, alors qu’il continue d’avoir des applications surprenantes, non triviales. Je crois qu’il a disparu en raison de la confusion que l’on fait régner sur les diverses notions d’angles, « pour simplifier », mais toutes incompatibles entre elles !

Remarque : Oui, les triangles IBE et ICF sont isométriques. Oui, et alors ?




Retour au problème
Retour à l’accueil Maths et Sciences